【数学基础】数列极限

极限是高等数学中一个很重要的知识,让我们从数列极限开始。

先来说明数列的概念:

数列定义:如果按照某一法则,对于每个x\in N_{+},对应一个确定实数x_{n},这些x_{n}按下标从小到大排列,得到一个序列:

x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},...

通称数列,简记{{x_{n}}},每一个数都叫数列的项,第n项为通项。

1.数列极限的定义

当n趋向于无穷大时,{{x_{n}}}能否无限接近某个确定的数。\lim_{x\rightarrow \infty }\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists N \in N_{+},when,n > N,that \left | x_{n}-a \right |<\varepsilon,则a就是{{x_{n}}}的极限,此时就说{{x_{n}}}收敛于a;当a趋向于无穷大时,就说{{x_{n}}}无极限,或者说是发散的。

注意:数列极限定义并未直接提供极限的求法,只能证明某数是极限。

2.收敛数列的性质

2.1.极限唯一性:如果{{x_{n}}}收敛,则其极限唯一;

2.2.有界性:如果{{x_{n}}}收敛,那么{{x_{n}}}有界;

2.3.保号性:if,\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,and,a>0(or,a<0),that\exists N \in N_{+},when,n> Nthat,x_{n}>0(or,x_{n}<0)

2.4.定理4(收敛数列与其子序列的关系):若{{x_{n}}}收敛于a,则其子序列也收敛于a。

证明较繁,从略,可参见《高等数学同济七版上册》。

发布者:Cinema

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